(1.苏州职业大学 计算机工程系，江苏 苏州 215104；2.东华大学 信息科学与技术学院，上海 200051)
摘 要：从臭柏灌丛枝条的分形特点出发，运用IFS算法对臭柏幼枝的形态进行了二维仿真，仿真的结果与实际相符。为研究臭柏的特性、探讨臭柏在各种自然条件下的生长规律提供了可行性。
关键词：臭柏；IFS；分形；仿真
中图分类号：TP391.9∶S791.44 文献标识码：A 文章编号：1007—6921(2008)08—0068—02
臭柏又名叉子柏、沙地柏，为柏科圆柏属常绿匍匐针叶灌木。臭柏无限生长的匍匐茎，使其分布区形成了臭柏占绝对优势的单优群落。臭柏群落覆盖度可高达70%～95%，镶嵌于沙地中，形成阻止流沙的天然屏障。臭柏的匍匐茎拥有超过50年的寿命。可能允许臭柏基株和分株或分株间，在大的时间和空间尺度内发生生理整合，因而在某种程度上对提高或维持基株或分株或分株间的生存力和适合度起到积极的作用，这可能是臭柏群落维持其高覆盖率的重要原因之一。臭柏特殊的形态结构和生理特征，使其对半干旱沙地具有较强的适应性［1］。
IFS是绘制分形图的常用方法，通过观察发现，臭柏灌丛的枝条具有显著的分形特点，幼叶长6 mm左右，并以一定角度向两侧生长。但目前从分形的角度探讨臭柏的形态及生长规律鲜见报道。因此，本文从分形角度对其枝叶形态生长进行了分析和模拟，对其防风固沙和抗旱等特性的研究具有十分重要的意义。
1 IFS（Iterated Function System）系统
IFS是迭代函数系统的简称，它是分形图形绘制的一种重要方法，此方法最早由Hutchinson于1981年给出。IFS系统将待生成的图像看成是由许多与整体相似的（自相似）或经过一定变换与整体相似的（自仿射）小块拼贴而成。下面给出仿射变换的一般数学表达式
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其中，x、y为原变量，a、b、c、d、e、f为仿射变换系数，x′、y′为变换后的变量。
2 分形理论在植物研究中的应用
植物是一类复杂的生物体，具有非线性、非平衡性、多尺度、突变性、自组织、自相似、随机性等特性。运用分形的方法对植物进行研究已日趋普遍，包括二维、三维植物结构的分形模拟、植物群落研究、景观格局研究、树冠特征研究、木材学研究以及在植物根系生长研究中的应用等等，而且，已经有一些研究成果在工农业生产中发挥了重要作用［8～14，16］。
但运用分形理论对臭柏灌丛进行研究的报道很少，随着全球性的生态环境问题日见突出，人类对生存环境进行保护的意识逐渐加强。在对臭柏的生理生态学特性有了一定了解的基础上，更促使了人类对臭柏的认识和研究。各种调查资料表明由于人类过度采伐、占用耕地、人口剧增、掠夺资源等行为已使沙漠化的进程正以人类难以想象的速度向前推进，导致了大面积的草场、森林和耕地的流失。中国目前是全球沙漠化最严重的国家之一，其沙漠化土地的总面积为174.31×104km2，约占国土陆地面积的18.2%［17］。
3 运用IFS系统仿真臭柏灌丛枝条
3.1 臭柏的生理生态特征
臭柏属柏科，为常绿低矮匍匐灌木，枝密集，主枝铺地平卧，枝稍上伸，侧枝向上伸展。老枝棕红色，片状剥落，嫩枝淡绿色。幼龄树上常为刺叶，柔和，叶长6mm左右；壮龄树上多为鳞叶。多雌雄异株。球果生于下弯的小枝顶端，倒三角状球形，成熟时黑褐色，稍有白粉。花期4～5月，果期第3年10月［17］。臭柏匍匐生长，枝叶茂密，树姿奇特，且四季常青，枝条柔软，易于造型，是我国北方城镇绿化、园林栽培、盆景布设、生篱培育、美化环境的珍贵树种。
3.2 臭柏的分形特性
臭柏是一年四季常绿植物，植株一般无明显主干，高不及2m，常从主枝上发出二三级侧枝。幼叶与成叶并存，针状与鳞片状叶片居多，刺形叶出现在幼龄植株和幼树上，排列紧密，向上伸展，并按一定角度在两侧生长，每个分枝能继续再分。研究结果表明臭柏匍匐茎上小枝的分枝角度在不同部位有差异。小枝萌生的初期分枝角度小，以后随着小枝年龄的增长，分枝角度逐渐变大［17］。如图1所示，通过观察可以发现臭柏的枝叶具有非常鲜明的分形特点，可以运用分形方法进行仿真。运用分形理论仿真植物形态的方法有多种方法，IFS算法是其中的一种，由IFS算法生成的著名的蕨类植物、枫叶等都非常逼真，所以，这里尝试采用IFS算法对臭柏灌丛的幼龄枝叶形态进行仿真。
确定IFS码一般有两种方法：其一是交互式确定法，其二是计算确定法。这里运用了计算确定法，采用将目标对象进行压缩，并取压缩前后的三点建立对应的线性方程组，以解线性方程组的方法来求取仿射变换系数。经过反复测试所得的部分仿射变换系数和相应的频率值结果如表1所示。
3.3 IFS算法的步骤
IFS算法的基本思想是选定若干仿射变换，将整体形态变换到局部，这一过程可以一直进行下去直到得到满意的结果。算法步骤如下：
3.3.1 设定臭柏枝叶的IFS初始参数值，迭代次数L及随机数R；
3.3.2 分配仿射变换的概率空间；
3.3.3 判断L的值，如果＝0，结束；否则，根据随机数R的值调用相应的仿射变换；
3.3.4 迭代公式计算，L＝L－1；
3.3.5 转到（3）；
4 收敛性证明
根据Banach不动点定理：在完备度量空间中，压缩映射必有唯一的不动点［4］。可知，只需证明上述仿射变换是压缩的即可，以下证明表1中所给的仿射变换是压缩的。
给定一个仿射变换，总能找到一个非负数s满足：
矩阵A的特征方程(A-λE)x=0有非零解的充要条件是｜A-λE｜=0。取表1的仿射变换w3可知A的特征方程的解为：max{0.2235，-0.02}=0.2235<1，同理可证，其他的仿射变换也是压缩的。所以以上构造的IFS的吸引子是存在的，并且就是臭柏的分形枝叶。
5 结论
由于臭柏形体的复杂性、多样性及日控变化等特点，使其建模更有难度。结合臭柏枝叶形态的分形特点，运用IFS算法对其幼龄叶片进行了仿真。仿真结果为臭柏灌丛的枝叶形态构建及生长规律做进一步的研究提供了基础，但二维仿真的效果与植物本身存在一定差异，三维建模将更能体现真实感。在人类生存环境面临挑战的情况下，臭柏的生态意义倍受关注，尤其在抗旱和水土保持方面的优势逐渐成为研究热点，如何直观、合理地引入植物学知识将是植物形态发生模型建模的关键。
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