四川省遂宁市2017年中考数学试卷
一、选择题
1．﹣2的倒数为（ ） A ．
21 B ．2
1- C ．﹣2 D ．2
2．下列运算正确的是（ ） A ．a?a 4=a 4 B ．（a 2）3=a 6 C ．（a 2b 3）2=a 4b 5 D ．a 6÷a 2=a 3（a ≠0）
3．我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病毒防御工作，使H7N9
禽流感病毒得到了很好的控制．病毒H7N9的直径为30纳米（1纳米=10﹣
9米）．将30纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A ．30×10﹣9
B ．3×10﹣9
C ．0.3×10﹣7
D ．3×10﹣
8 4．点A （a ，b ）关于x 轴对称的点A′的坐标为（ ）
A ．（a ，﹣b ）
B ．（﹣a ，b ）
C ．（﹣a ，﹣b ）
D ．（b ，a ） 5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆锥
D ．圆柱
6．若点A （﹣6，y 1），B （﹣2，y 2），C （3，y 3）在反比例函数y=x
a 1
2+（a 为常数）的
图象上，则y 1，y 2，y 3大小关系为（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 3＞y 1
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2 7．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形
8．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x +1=0有两个实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≤2 B ．a ＜2 C ．a ≤2且a ≠1 D ．a ＜2且a ≠1
9．如图，⊙O 的半径为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则线段BC 的长为（ ）
A ．33
B ．3
C ．36
D ．6
10．函数y=x 2+bx +c 与函数y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b +c=0；③b
＜0；④方程组???=++=x
y c bx x y 2的解为???==1111y x ，???==33
22y x ；⑤当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）
x +c ＞0．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．②③⑤
二、填空题 11．函数1
2
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 12．在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些球除颜色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ． 13．已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根，则
2
11
1x x += ． 14．如图，直线y=
3
1
x +1与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 ．
15．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动．连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ．有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为25﹣2；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积S=8+
55
8
．其中正确的命题有 ．（填序号）
三、计算题
16．（7分）计算：38 +（﹣
2
1）﹣1
﹣2cos60°﹣（π﹣2017）0+|1﹣4|． 17．（7分）有这样一道题“求1
1
1211222+-÷+++--+a a a a a a a a 的值，其中a=2017”，“小马虎”不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是正确的，请说明原因． 18．（7分）解方程：
x
x
x --=
+-21321．
四、解答题（共69分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接AF 、CE ． 求证：AF=CE ．
20．（9分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走
（1）填空：m= ，n= ； （2）请补全条形统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在 组； （4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
21．（9分）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？ 22．（10分）关于三角函数有如下公式：sin （α+β）=s inαcosβ+cosαsinβ，sin （α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=
β
αβ
αtan tan 1tan tan -+（1﹣tanαtanβ≠0）
tan （α﹣β）=
β
αβ
αtan tan 1tan tan +-（1+tanαtanβ≠0）
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 如：tan105°=tan （45°+60°）=
323
13
160tan 45tan 160tan 45tan --=-+=??-?+?
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：
如图，两座建筑物AB 和DC 的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α=15°，测得点C 的俯角β=75°，求建筑物CD 的高度．
23．（10分）如图，直线y 1=mx +n （m ≠0）与双曲线y 2=
x
k
（k ≠0）相交于A （﹣1，2）和B （2，b ）两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ． （1）求m ，n 的值；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△BCP 与△OCD 相似？若存在求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，CD 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，直线AB 与CD 的延长线相交于点A ，AB 2=AD?AC ，OE ∥BD 交直线AB 于点E ，OE 与BC 相交于点F ． （1）求证：直线AE 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，cosA=
5
4
，求OF 的长．
25．（12分）如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0），经过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；
（2）连接AC 、BC ，N 为抛物线上的点且在第四象限，当S △NBC =S △ABC 时，求N 点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，动点P （m ，3）在直线l 上，动点Q （m ，0）在x 轴上，连接PM 、PQ 、NQ ，当m 为何值时，PM +PQ +QN 的和最小，并求出PM +PQ +QN 和的最小值．
四川省遂宁市2017年中考数学试卷
参考答案与解析
一、选择题
1．﹣2的倒数为（ ） A ．
21 B ．2
1- C ．﹣2 D ．2
【分析】乘积是1的两数互为倒数． 【解答】解：﹣2的倒数是2
1
-
． 故选：B ．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ） A ．a?a 4=a 4 B ．（a 2）3=a 6 C ．（a 2b 3）2=a 4b 5 D ．a 6÷a 2=a 3（a ≠0）
【分析】先根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A 、a?a 4=a 5，故本选项错误； B 、（a 2）3=a 6，故本选项正确； C 、（a 2b 3）2=a 4b 6，故本选项错误； D 、a 6÷a 2=a 4（a ≠0），故本选项错误； 故选B ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
3．我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病毒防御工作，使H7N9
禽流感病毒得到了很好的控制．病毒H7N9的直径为30纳米（1纳米=10﹣
9米）．将30纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A ．30×10﹣9
B ．3×10﹣9
C ．0.3×10﹣7
D ．3×10﹣
8
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣
n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：禽流感病毒H7N9的直径约为30纳米，即0.00000003米，用科学记数法表示
该数为3×10﹣
8． 故选：D ．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣
n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．点A （a ，b ）关于x 轴对称的点A′的坐标为（ ）
A ．（a ，﹣b ）
B ．（﹣a ，b ）
C ．（﹣a ，﹣b ）
D ．（b ，a ） 【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点即可求解．
【解答】解：点A （a ，b ）关于x 轴对称的点A′的坐标为（a ，﹣b ）． 故选A ．
【点评】本题考查了关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆锥
D ．圆柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥． 故选C
【点评】此题考查三视图问题，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．
6．若点A （﹣6，y 1），B （﹣2，y 2），C （3，y 3）在反比例函数y=x
a 1
2+（a 为常数）的
图象上，则y 1，y 2，y 3大小关系为（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 3＞y 1
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小判断． 【解答】解：∵a 2≥0， ∴a 2+1≥1，
∴反比例函数y=x
a 1
2+（a 为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣6＜﹣2， ∴0＞y 1＞y 2， ∵3＞0， ∴y 3＞0，
∴y 3＞y 1＞y 2． 故选D ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．
7．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC 、BD ， 在△ABD 中，
∵AH=HD ，AE=EB ，
∴EH=
21
BD ， 同理FG=21BD ，HG=21AC ，EF=2
1
AC ，
又∵在矩形ABCD 中，AC=BD ，
∴EH=HG=GF=FE ，
∴四边形EFGH 为菱形． 故选B ．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
8．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x +1=0有两个实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≤2 B ．a ＜2 C ．a ≤2且a ≠1 D ．a ＜2且a ≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x +1=0有两个实数根，
∴
，
解得：a ≤2且a ≠1． 故选C ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
9．如图，⊙O 的半径为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则线段BC 的长为（ ）
A ．33
B ．3
C ．36
D ．6
【分析】作弦心距OD ，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=
2
1
∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD 的长，根据勾股定理得DC 的长，最后利用垂径定理得出结论． 【解答】解：∵∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BAC +∠BOC=180°， ∵∠BAC=
2
1
∠BOC ， ∴∠BOC=120°，
过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，
∴BD=CD ， ∵OB=OC ，
∴OB 平分∠BOC ， ∴∠DOC=
2
1
∠BOC=60°， ∴∠OCD=90°﹣60°=30°， 在Rt △DOC 中，OC=6， ∴OD=3， ∴DC=33， ∴BC=2DC=63，
故选：C ．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．函数y=x 2+bx +c 与函数y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b +c=0；③b
＜0；④方程组???=++=x
y c bx x y 2的解为???==1111y x ，???==33
22y x ；⑤当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）
x +c ＞0．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．②③⑤
【分析】由函数y=x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x=1时，y=1+b +c=1；当x=3时，y=9+3b +c=3；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0；故①错误；
当x=1时，y=1+b +c=1，则b +c=0，故②正确；
对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b ＜0，故③正确；
根据抛物线与直线y=x 的交点知：方程组???=++=x
y c bx x y 2的解为???==1111y x ，???==33
22y x 方程组．
故④正确；
∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx +c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x +c ＜0． 故⑤错误． 故选：B ．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题 11．函数1
2
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 x ≠1 ． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x ﹣1≠0，解可得答案．
【解答】解：根据题意可得x ﹣1≠0； 解得x ≠1；
故答案为：x ≠1．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
12．在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些球除颜色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ． 【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．
【解答】解：∵有5个红球，2个黄球，3个绿球，共10个， ∴摸到红球的概率为105=2
1； 故答案为：
2
1． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=n
m ．
13．已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根，则
2
11
1x x = ﹣3 ． 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=3、x 1?x 2=﹣1，
将其代入
+
=
中即可
求出结论．
【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2
﹣3x ﹣1=0的两根， ∴x 1+x 2=3，x 1?x 2=﹣1，
∴
+
=
=
=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“
两根之和等于﹣
、两根之积等于”是解题的关键．
14．如图，直线y=
3
1
x +1与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 （3，2）或（﹣9，﹣2） ．
【分析】首先根据直线y=
3
1
x +1与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，解得点A 和点B 的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标． 【解答】解：∵y=
3
1
x +1与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，
令x=0可得y=1；令y=0可得x=﹣3，
∴点A 和点B 的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴
=
=，
∴O′B′=2，AO′=6，
∴当点B"在第一象限时，B′的坐标为（3，2）； 当点B"在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）． ∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）． 故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概念是解决问题的关键．
15．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动．连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ．有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为25﹣2；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积S=8+
55
8
．其中正确的命题有 ①②③ ．（填序号）
【分析】判断出△BAE ≌△ADF 即可判断出①正确；进而判断出∠AGB=90°，从而得到点G 是以AB 为直径的圆弧上一点，再判断出此圆弧所对的圆心角，即可判断出②正确，再用圆外一点到圆上的最小距离的确定方法判断出此圆弧上一点到点D 的距离最小，再用勾股定理即可判断出③正确，再判断出△DMG ∽△DAP 求出GM ，进而求出△BCG 的高GN ，利用三角形的面积公式得出△BCG 的面积，进而判断出④错误．
【解答】解：∵点E 、F 分别同时从A 、D 出发以相同的速度运动，∴AE=DF ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA ，∠BAE=∠D=90°， 在△BAE 和△ADF 中，
，
∴△BAE ≌△ADF （SAS ），∴∠ABE=∠DAF ，
∵∠DAF +∠BAG=90°，∴∠ABE +∠BAG=90°，即∠AGB=90°，∴AF ⊥BE ．故①正确； ∵∠AGB=90°，∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧的一部分， 由运动知，点E 运动到点D 时停止，同时点F 运动到点C ，
∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
∴长度为=π，故命题②正确；
如图，设AB 的中点为点P ，连接PD ，
∵点G 是以点P 为圆心AB 为直径的圆弧上一点， ∴当点G 在PD 上时，DG 有最小值，
在Rt △ADP 中，AP=AB=2，AD=4，根据勾股定理得，PD=2
，
∴DG 的最小值为2﹣2，故③正确；
过点G 作BC 的垂线与AD 相交于点M ，与BC 相交于N ，∴GM ∥PA ，∴△DMG ∽△DAP ，
∴
，∴GM=
，∴△BCG 的高GN=4﹣GM=
，
∴S △BCG =×4×=4+
，故④错误，
∴正确的有①②③， 故答案为：①②③
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，圆的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、计算题
16．（7分）计算：38 +（﹣
2
1）﹣1
﹣2cos60°﹣（π﹣2017）0+|1﹣4|． 【分析】直接利用立方根的定义以及负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2﹣2﹣2×
2
1
﹣1+2﹣1 =﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（7分）有这样一道题“求1
1
1211222+-÷+++--+a a a a a a a a 的值，其中a=2017”，“小马虎”
不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
【分析】首先化简1
1
1211222+-÷
+++--+a a a a a a a a 的，然后判断出算式的值与a 无关即可．
【解答】解：1
1
1211222+-÷
+++--+a a a a a a a a =﹣=1
∴算式的值与a 无关即可，
∴“小马虎”不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是正确的．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18．（7分）解方程：
x
x
x --=
+-21321． 【分析】去分母化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘x ﹣2得到，1+3（x ﹣2）=x ﹣1， 1+3x ﹣6=x ﹣1， x=2，
∵x=2时，x ﹣2=0，
∴x=2是分式方程分增根，原方程无解．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
四、解答题（共69分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接AF 、CE ． 求证：AF=CE ．
【分析】首先证明AE ∥CF ，△ABE ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质可得AE=CF ，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE ．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABE=∠CDF ．
又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE ∥CF ， 在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．20．（9分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走
（1）填空：m=2，n=3；
（2）请补全条形统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在B组；
（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
【分析】（1）根据表格确定出m与n的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）确定出20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数的范围即可；
（4）根据样本中的步数少于8500步的百分比，乘以200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据表格得：5500≤x＜6500的有：5640与6430，即m=2，
8500≤x＜9500的有：8648，8753，9450，即n=3；
故答案为：2；3；
（2）补全条形统计图，如图所示：
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
（4）根据题意得：200×=160（人），
则估计一天行走的步数少于8500步的人数约为160人．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．（9分）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
【分析】（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x吨，一辆小型渣土运输车每次运土方y 吨，根据“一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨”，列方程组求解可得；
（2）设派出大型渣土运输车a辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，根据“每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆”列不等式组求解可得；
（3）设运输总花费为W，根据“总费用=大渣土车总费用+小渣土车总费用”列出W关于a的函数解析式，根据一次函数性质结合a的范围求解可得．
【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x吨，一辆小型渣土运输车每次运土方y吨，
根据题意，可得：，
解得：，
答：一辆大型渣土运输车每次运土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运土方5吨；
（2）设派出大型渣土运输车a 辆，则派出小型运输车（20﹣a ）辆，
根据题意，可得：
，
解得：9.6≤a ≤13， ∵a 为整数，
∴a=10、11、12、13，
则渣土运输公司有4种派出方案，如下：
方案一：派出大型渣土运输车10辆、小型渣土运输车10辆； 方案二：派出大型渣土运输车11辆、小型渣土运输车9辆； 方案三：派出大型渣土运输车12辆、小型渣土运输车8辆； 方案四：派出大型渣土运输车13辆、小型渣土运输车7辆；
（3）设运输总花费为W ，
则W=500a +300（20﹣a ）=200a +6000， ∵200＞0，
∴W 随a 的增大而增大， ∵9.6≤a ≤13，且a 为整数，
∴当a=10时，W 取得最小值，最小值W=200×10+6000=8000， 故该公司选择方案一最省钱．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系或不等式关系列出方程组、不等式组及一次函数解析式是解题的关键．
22．（10分）关于三角函数有如下公式：sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin （α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=
β
αβ
αtan tan 1tan tan -+（1﹣tanαtanβ≠0）
tan （α﹣β）=
β
αβ
αtan tan 1tan tan +-（1+tanαtanβ≠0）
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 如：tan105°=tan （45°+60°）=
323
13
160tan 45tan 160tan 45tan --=-+=??-?+?
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：
如图，两座建筑物AB 和DC 的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α=15°，测得点C 的俯角β=75°，求建筑物CD 的高度．
【分析】根据题意得到tan75°=2+，tan15°=2﹣
，如图，延长CD 交BC 的延长线AE 于
E ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵tan75°=tan （30°+45°）===2+，
tan15°=tan （30°﹣45°）=
=2﹣，
如图，延长CD 交BC 的延长线AE 于E ， 在Rt △AEC 中，AE=BC=24cm ，∠CAE=75°，
∴tan75°=
，
∴CE=AE?tan75°=（48+24
）cm ，
在Rt △AED 中，tan ∠DAE=tan15°=
，
∴DE=AE?tan15°=48﹣24，
∴CD=CE ﹣DE=48cm ．
答：建筑物CD 的高度是48cm ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（10分）如图，直线y 1=mx +n （m ≠0）与双曲线y 2=
x
k
（k ≠0）相交于A （﹣1，2）和B （2，b ）两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ． （1）求m ，n 的值；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△BCP 与△OCD 相似？若存在求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入反比例函数解析式求得k 、b 的值，然后将点A 、B
的坐标分别代入一次函数解析式，利用方程组求得它们的值；
（2）需要分类讨论：△PCB ∽△OCD ，△BCP′～△OCD ，由坐标与图形的性质以及等腰直角三角形的性质进行解答．
【解答】解：（1）∵A （﹣1，2）和B （2，b ）在双曲线y 2=x
k
（k ≠0）上， ∴k=﹣1×2=2b ， 解得b=﹣1． ∴B （2，﹣1）．
∵A （﹣1，2）和B （2，﹣1）在直线y 1=mx +n （m ≠0）上，
∴
，解得
，
∴m ，n 的值分别是﹣1、1；
（2）在y 轴上存在这样的点P ，理由如下： ①如图，过点B 作BP ∥x 交y 轴于点P ， ∴△PCB ∽△OCD ， ∵B （2，﹣1）， ∴P （0，﹣1），
②过点B 作BP′⊥AB 交y 轴于点P ， ∴△BCP′～△OCD ， 由（1）知，y 1=﹣x +1， ∴C （0，1），D （1，0）， ∴OC=OD ，
∴△OCD 是等腰直角三角形， ∴△BCP′是等腰直角三角形， ∴CP′=PP′=2， ∴P′（0，﹣3），
∴这样的点P 有2个．即（0，﹣1）和（0，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题．需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．难度不大，但是综合性比较强，解题时，需要分类讨论，以防漏解．
24．（10分）如图，CD 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，直线AB 与CD 的延长线相交于点A ，AB 2=AD?AC ，OE ∥BD 交直线AB 于点E ，OE 与BC 相交于点F ． （1）求证：直线AE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，cosA=
5
4
，求OF 的长．
【分析】（1）连接OB 根据已知条件得到△ABD ∽△ACB ，根据相似三角形的性质得到∠ABD=∠ACB ，由等腰三角形的性质得到∠OBC=∠ACB ，等量代换得到∠OBC=∠ABD ，于是得到结论；
（2）设AB=4x ，OA=5x ，根据勾股定理得到AB=4，OA=5，求得AD=2，根据平行线分相等
成比例定理得到BE=6，由勾股定理得到OE==3
，根据三角形的面积公式得到
BF=
，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OB ，∵AB 2
=AD?AC ，
∴，
∵∠A=∠A ，
∴△ABD ∽△ACB ，∴∠ABD=∠ACB ， ∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠ACB ， ∴∠OBC=∠ABD ， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CBD=90°，
∴∠OBC +∠OBD=90°，∠OBD +ABD=90°， 即∠OBA=90°，
∴直线AE 是⊙O 的切线；
（2）∵OB=3，cosA=， 设AB=4x ，OA=5x ，
∵OA 2=AB 2+OB 2
，
∴（5x ）2=（4x ）2+32
， ∴x=1，
∴AB=4，OA=5， ∴AD=2， ∵OE ∥BD ，
∴，
∴BE=6，
∴OE=
=3
，
∵∠CBD=90°，BD ∥OE ， ∴∠EFB=90°，
∵s △OBE =OB?BE=OE?BF ， ∴OB?BE=OE?BF ，
∴BF=，
∵tan ∠E=，
∴E=
，
∴OF=OE ﹣EF=
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0），经过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；
（2）连接AC 、BC ，N 为抛物线上的点且在第四象限，当S △NBC =S △ABC 时，求N 点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，动点P （m ，3）在直线l 上，动点Q （m ，0）在x 轴上，连接PM 、PQ 、NQ ，当m 为何值时，PM +PQ +QN 的和最小，并求出PM +PQ +QN 和的最小值．
【分析】（1）将点A 、B 、C 坐标代入解析式，解关于a 、b 、c 的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M 坐标；
（2）设N （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＞0），根据点N 、C 坐标用含t 的代数式表示出直线CN 解析式，求得CN 与x 轴的交点D 坐标，即可表示BD 的长，根据S △NBC =S △ABC ，即S △CDB +S △
BDN =
2
1
AB?OC 建立关于t 的方程，解之可得；
（3）将顶点M （1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N 交x 轴于点Q ，连接PQ ，此时M′、Q 、N 三点共线时，PM +PQ +QN=M′Q +PQ +QN 取最小值，由点M′、N 坐标求得直线M′N 的解析式，即可求得点Q 的坐标，据此知m 的值，过点N 作NE ∥x 轴交MM′
延长线于点E ，可得M′E=6、NE=3、M′N=2
263 =35，即M′Q +QN=35，据此知m=
2
3时，PM +PQ +QN 的最小值为35+3．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax 2
+bx +c （a ≠0）经过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3），
∴
，解得：
，
∴y=﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2
+4，
则抛物线的顶点M 坐标为（1，4）；
（2）∵N 是抛物线上第四象限的点，
∴设N （t ，﹣t 2
+2t +3）（t ＞0）， 又点C （0，3），
设直线NC 的解析式为y=k 1x +b 1，
则，
解得：，
∴直线NC 的解析式为y=（﹣t +2）x +3， 设直线CN 与x 轴交于点D ，
当y=0时，x=，
∴D （
，0），BD=3﹣
，
∵S △NBC =S △ABC ，
∴S △CDB +S △BDN =AB?OC ，即BD?|y C ﹣y N |= [3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣
）[3﹣（﹣t 2
+2t +3）]=6，
整理，得：t 2
﹣3t ﹣4=0，
解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），
当t=4时，﹣t2+2t+3=﹣5，
∴N（4，﹣5）；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，
∵P（m，3）、Q（m，0），
∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形，
∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得：，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=﹣2x+3，
当y=0时，x=，
∴Q（，0），即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E=1﹣（﹣5）=6，NE=4﹣1=3，
∴M′N==3，
∴M′Q+QN=3，
∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
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