数学建模竞赛论文论文题目：校园室外垃圾箱的最优配置问题研究
姓名1：林烜学号：08057241 专业：材料科学与工程姓名2：鞠文军学号：08055232 专业：生物技术
姓名3：陈林学号：08057228 专业：材料科学与工程
2011 年 5 月 2 日
2011年数学建模论文
——校园室外垃圾箱的最优配置问题研究摘要：本文根据我们自己所调查和估测的东华理工大学南区师生流量及垃圾处理情况设计出东华理工大学南区垃圾箱配置方案，以及反映利于师生投放垃圾和垃圾箱成本有多个指标，建立了垃圾滞留量和垃圾箱成本两个目标函数的多目标规划数学模型。基于多目标分析法基于多目标规划分析法，进行数值计算，从而得到原问题的一个明确、完整的数学模型，并在模型扩展中运用已建的计算机模拟系统对所得的结果和我们对于配置方案的想法进行分析和评价。
首先通过数据的分析，并考虑到方案的可操作性，将一天划为；引入乘客的利益、垃圾箱成本作为两个目标函数，建立了两目标优化模型。通过垃圾箱最大储存量与垃圾储存量需求(实际储存量需求) 达到最优匹配、满载率高低体现环境优化程度；使用总垃圾箱数较少表示环境卫生管理部门利益建立两个目标函数。应用matlab中的fgoalattain进行多目标规划求出垃圾箱数，以及用步长法估计垃圾箱之间的距离。
关键字：垃圾箱配置；数据分析；数学模型；时间步长法，matlab
一问题的重述
东华理工大学南区共有主要干道7条，共有师生大约7000人，总共有R个垃圾箱，每个垃圾箱可以装C立方米垃圾，师生个人平均室外垃圾生产速率为V。这些垃圾箱将按照垃圾箱配置方案安放，按照实现收集垃圾梅花环境的目的。建立数学模型，根据垃圾数量大小，配多少垃圾箱、垃圾箱如何放置，使得垃圾回收率最高，并且每天垃圾回收的量不超过垃圾箱的最大容积，学校有关部门对于安放垃圾箱成本最小。假设垃圾的产生是连续的、均匀的。
1.已知数据及问题的提出
我们要考虑的是东华理工大学南区的校外垃圾箱配置问题，现已知该校区主要干道条数为M（=7），并给出了每个垃圾箱的最大容量。每条干道的长度分别是L1、L2、L3、L4、L5、L6、L7。垃圾箱配置要求，垃圾箱的垃圾装载不能超过120%，一般也不要低于r= 50%。
现要我们根据以上资料和要求,为该校区设计一个垃圾箱配置方案、一共需要多少个垃圾箱以及垃圾箱放置位置的选择的方案。并给出刻划垃圾回收率、环境美化程度、垃圾箱成本的指标,进行评估等。
2.准备工作
面对这个问题，由于题目未给出南区的原有的垃圾配置方案，所以我们必须先调查南区各条主干道上的垃圾箱配置情况，然后统计各线路上一些基本数据，如垃圾产生量、人流量等。
我们首先来看一看各条线路的具体几何关系和各线路：
图
1-1 Array图1-2
3 问题的初步分析及基本假设
制定垃圾箱配置方案需要考虑的因素非常多,且很多因素都是随机的。为了抓住重点,简化模型建立及求解,必须作一定的简化假设和设定。
1) 每条主干道都只有起点和终点，不会中间出现分支路径。
2) 行人有垃圾就会就近投放。
3) 行人在任何时间内都可以投放垃圾。
4) 环境的优化程度只和产生的垃圾是否能够被垃圾箱容纳有关。
5) 每个垃圾箱都可以正常储存垃圾。
6) 主干道的线路已确定，行人行走路线调整不做考虑。
7) 根据调查数据垃圾产生量是一个平均值，考虑垃圾箱配置问题时，只需考虑一段路程。
8）在行人往返到达各自单程终点时，所有垃圾必须在离开该干道前投放出去。
9) 在同一个路段内，相邻两垃圾箱距离间隔相等。
10）对全天而言环卫部门必须把所有室外垃圾用垃圾箱收集起来。
4 模型的建立
4. 1 符号说明
N 某路段发垃圾箱个数
B 某路段的平均满载率
L= Σli 一条路线从始发点到终点的整个长度
ai 第i个垃圾箱的平均垃圾收集量
R =L*Σai
B= R / ( c ×N) R 为某路段的总垃圾收集量 c=0.08立方米
α供求匹配比α = ( ΣV) / ( ΣQ)
k 控制参数
Q 某路段垃圾收集能力
Q = 某路段垃圾箱数Ni×每个垃圾箱最大容量×单程(人流正方向或人流逆方向) 总运行距离L 。其中,人流正方向时, L公里; 人流逆方向时, L公里。
V 某路段的需要垃圾接收量
V = Σj*xj*L
其中, x j 为某路段内A j 垃圾箱的垃圾收集数
问题一:垃圾箱个数的确定
依据前面的分析,兼顾环境优美和垃圾箱成本两个方面的考虑，分别对东华理工南区的各个主干道建立如下的多目标规划模型：
目标函数: Ⅰ供求的最优匹配 min ( Q ×B - V )^ 2
Ⅱ各路段的垃圾箱个数均最小 min{ N }
约束条件: ①各路段的平均满载率限制 0、5 ≤B ≤1、2
②供求匹配比限制α≤k
4、2目标函数说明:
目标函数Ⅰ使某路段的垃圾收集能力Q和世纪收集需求量V达到最优匹配,β反映满载率高低的影响。
目标函数Ⅱ使所需的最大垃圾箱数,在满足约束条件下尽可能少, 以使总垃圾箱数较少。
4、3约束条件说明:
条件①是限制满载率满足垃圾箱配置要求,是考虑了环境的优化。
条件②是限制供求匹配比α小于常数k。:
问题二：垃圾箱数量及垃圾箱间隔的确定
(1)垃圾箱间隔的确定
在这部分,我们采用步长法,根据假设一个路段垃圾箱间隔路程li相等,则l i 可由N确定,从而得到垃圾箱摆放方法。按此垃圾箱摆放方法模拟实际运行过程, 目标是确定满足摆放方法的最垃圾箱数n ,统计各项配置指标,搜索最优调度方案解。
(2) 模拟子程序一:确定最少垃圾箱数目n
对各路段的起始点, 应最少要保证有一个未装满的垃圾箱。如有多个空闲垃圾箱，则优先考虑将其放置在垃圾出现较多的路线的起始位点和终止位点。若是垃圾箱的个数满足不了储存垃圾的要求，则会出严重影响到环境优美。
我们暂且把东华理工南区的主干道数目算作图1-2中所示的七条,每条主要路段上都有连续的垃圾箱,每个垃圾箱都接受人流垃圾的投放,则干道上垃圾箱数目是随路程变化的状态量。用Na 、Nb、Nc、Nd、Ne、Nf、Ng 分别来描述干道1至干道7中的满足垃圾箱有足够容量储存垃圾所需要的垃圾箱最小数目,分别搜索其在实际过程中的最大值,则所需最小垃圾箱数目n = Na+Nb+Nc+Nd+Ne+Nf+Ng。
(3) 模拟子程序二:统计各项配置方案指标
确定各项配置指标,采用模拟统计的计算方法, 对不同的配置指标进行定量计算, 主要功能是通过定量分析配置指标来检验方案的可行性,以确定方案调整。
由于垃圾箱与垃圾箱位置一一对应,而垃圾箱的位置顺序是不发生改变,因而对所需垃圾箱进行统一编号,则对垃圾箱,与其对应的垃
圾箱位置编号是确定的,故我们直接对第k 个垃圾箱进行考察。
我们统计的指标及其定义如下:
平均满储率B1 = ( ΣkΣj1B( k , j1) / ( N1 ·J1)
B2= ( ΣkΣj2B( k , j2) / ( N2 ·J2)
B3= ( ΣkΣj3B( k , j3) / ( N3 ·J2)
B4= ( ΣkΣj4B( k , j4) / ( N4 ·J4)
B5= ( ΣkΣj5B( k , j5) / ( N5 ·J5)
B6= ( ΣkΣj6B( k , j6) / ( N6 ·J6)
B7= ( ΣkΣj7B( k , j7) / ( N7 ·J7)
满储率分布可以由B( k , j) 确定。
符号说明:
B01 = ( ΣkΣj1B( k , j1) / ( N1 ·J1)
N1 , N2 ，N3，N4，N5,N6，N7是每条主干道上的垃圾箱数J1, J2，J3，J4，J5,J6,J7是每条主干道上所分的路段数
4.4试验过程及数据处理
4.5 模拟结果及统计指标分析
5调度方案
认为在该校区的垃圾箱总数目固定不变,形成连续固定的垃圾箱线路网,根据不空不缺原则按照配置方案安放。
6 模型的进一步讨论
关于采集配置数据的讨论
由于我们假设在一个路程内垃圾量的产生是服从均匀分布,而实
际中垃圾量产生的地点是不可能都服从均匀分布。特别是如果数据给出的是一个垃圾箱在每段路程的经验值就会使模型结论误差较大。我们建议以下几种改进采集方式的方法:
（1）由于实际问题中统计的垃圾量不可能服从均匀分布，而且存在一个校区内不同路段分大量段和少量段。所以数据的统计应按照校区为单位分段统计更加合理。
（2）采取不等的统计人数的间隔路段在大量段的情况下,为削弱垃圾量产生的位置不均匀分布带来的影响,可适当减小统计的间隔路程但统计路程加密应有一定限度。对客垃圾产生量很少的路段,我们可适当增大统计的间隔路程间隔。
（3）增加能反应有关未能被装下垃圾量的统计数据。
（4）按相等路段垃圾量来区分路段的统计方法是统计达到一定路段垃圾量时的路段点,其优点是能较为准确地反映垃圾产生量的变化情况,有利于按其分布的疏密进行垃圾箱配置,以更好的满足环境的需要。
（5）考虑到实际问题中，垃圾箱配置存在单个点放置一个垃圾箱和单个点放置n（n>1）个垃圾箱的模型。单个点放置n垃圾箱问题相当于将该点看做n垃圾箱放置点，即把单个点放置n垃圾箱的模型的方法延伸到n*N个路段进行运算。方法同单个点放置一个垃圾箱的运算，所以不再重复。
（6）单个点放置一个垃圾箱和单个点放置n（n>1）个垃圾箱的方案选用。
由结果分析可知单个点放置一个垃圾箱方案减少了环卫部门的前期投资成本。单个点放置n（n>1）个垃圾箱方案的配置成本小,更好的兼顾到环境与环卫部门两方面的利益。我们建议, 单个点放置n （n>1）个垃圾箱的条件下选取单个点放置n（n>1）个垃圾箱的方案更好。当需进行路线规划,需要选取单个点放置一个垃圾箱和单个点放置n（n>1）个垃圾箱时, 建议根据实际所需成本来选取方案。
7 模型的评价
本文的优点如下:
1) 模型的主体是采用步长法,模拟生成的垃圾箱配置方案的实际运效果,准确性高,容量大,逻辑性严格,计算速度快,具有较强的说服力和适应能力。
2)定义了能定量衡量我们的配置方案对环境保护和环保卫生部门成本双方面利益满足程度的统计指标。
3)在求最少垃圾箱数时,将每条主干道看作是垃圾箱输出源，当需要垃圾箱时就在某点最佳点出现，通过各条主干道的垃圾箱的位置和数量状态实时模拟，实现垃圾和谐投放，从而求得所需垃圾箱数目
本文的缺点是:
1) 对于配置数据的采集方式,只给出了一些原则和想法,没有经过仿真验证。
2) 对于室外垃圾产生的分布,直接将同条干道上的垃圾生产量假设为均匀分布,没有对其他分布的情况再作讨论。可将分布路段段划分为大量地段，正常地段，少量地段。
3）对于垃圾箱的垃圾投放假设无阻碍进行。在实际生活中垃圾常是无规则形状的物品，会对垃圾箱的实际储存量有影响，未将此点考虑进去可能产生误差。
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